ازدادت أهمية الفائدة ـ بشقّيها؛ البسيطة والمركبة ـ في الاقتصاد وزاد استخدامها مع التوسع والتطور الذي شهدته أوروبا في عصور النهضة الصناعية، فازدادت عمليات الاقتراض التي قام التجار في بحث منهم عن توسعة تجارتهم وزيادة أرباحهم، فقامت البنوك نتيجة ذلك بفرض معدلات فائدة على القروض، يدفعها التجار كتكلفة إضافية ناتجة عن عملية اقتراض الأموال، بينما كانت تُقدم القروض سابقًا إلى العائلات الفقيرة المحتاجة، التي لا تستطيع دفع أموال إضافية فوق مبلغ القرض الأساس.

تعريف الفائدة المركبة

الفائدة المركبة (Compound Interest) هي الفائدة التي تحسب على مبلغ القرض أو الإيداع وتقوم على مبدأ جمع مبلغ القرض أو الإيداع الأولي مع كافة الفوائد المتراكمة التي تم حسابها في فترات زمنية سابقة، ثم حساب مبلغ الفائدة المترتب عليها خلال الفترة الزمنية الحالية

بدأ استخدام الفائدة المركبة في القرن السابع عشر للميلاد، في أوروبا، وتتميز الفائدة المركبة عن البسيطة في أنها تسرع نمو مبلغ الإيداع أو القرض، إذ أن الفائدة البسيطة تُحسب على أساس مبلغ رأس المال الأولي فقط، ما يقلل من المبلغ الذي تحتسب عليه الفائدة في كل مرة – والذي يبقى ثابتًا-مقارنةً بالمبلغ في الفائدة المركبة الذي يتزايد في كل مرة تحتسب فيها الفائدة.

يتناسب مبلغ الفائدة المركبة الذي يتم تحصيله مع عدد مرات تحصيل الفائدة المركبة خلال الفترة الزمنية الواحدة، فمبلغ الفائدة الناتج عن معدل فائدة يبلغ 10% على رأس مال أولي  دولار1000 ويتم تحصيلها لمرة واحدة فقط أقل من مبلغ الفائدة الناتجة عن معدل فائدة يبلغ 5% يتم تحصيله مرتين أثناء الفترة الزمنية الواحدة.   ¹  

حساب الفائدة المركبة

تقوم فكرة الفائدة المركبة على إضافة فوائد الفترات الزمنية السابقة إلى رأس المال الأولي ثم حساب الفائدة للفترة الزمنية الحالية عن المبلغ الكلي، أي يتم احتساب فائدة على فوائد احتسبت مسبقًا، وتكون معادلة الفائدة المركبة من الشكل التالي: A= P (1 + r/n)^(nt) حيث:

• A: مبلغ رأس المال بعد احتساب الفائدة عن الفترة الزمنية الحالية.
• P: مبلغ رأس المال في بداية الفترة الزمنية الحالية.
• r: معدل الفائدة المحتسب.
• n: عدد مرات احتساب الفائدة المركبة في الفترة الزمنية الواحدة.
• t: عدد السنوات التي سيتم احتساب الفائدة خلالها.

ان المعادلة السابقة تعطي القيمة المستقبلية لرأس المال في نهاية الفترة الزمنية الحالية مضافًا إليها قيمة الفائدة المركبة، والحساب قيمة الفائدة يجب طرح مبلغ رأس المال في بداية الفترة الزمنية الحالية من ناتج المعادلة.

معادلات إضافية

من المعادلة السابقة يمكن حساب كافة المتغيرات فيها، عن طريقة المعادلات التالية:  ²  

• حساب معدل الفائدة : r= n [(A/P)^1/nt – 1].
• حساب رأس المال أول الفترة: P= 1/ (1+ r/n)^nt.

العوامل المتغيرة في حساب الفائدة المركبة

توجد خمسة عوامل أساسية تؤثر على قيمة الفائدة المركبة التي يتم تحصيلها وهي:

• معدل الفائدة: هو المعدل الذي يتم كسبه أو يُفرض على المُقترِض ويتأثر مبلغ الفائدة بشكل طردي مع معدل الفائدة، فيرتفع بارتفاع، وينخفض بانخفاضه.

• رأس المال الأساسي: مبلغ الإقتراض أو الإيداع الأساسي يؤثر بشكل رئيسي على مبلغ الفائدة الناتج عن أول فترة زمنية، والذي سيتراكم مع مرور الوقت والفترات الزمنية التالية.
• معدل التراكم: يؤثر معدل التراكم للفائدة على النمو الذي سيحصل في مبلغ الإيداع أو القرض، سواء أكان المعدل يومي أو شهري أو سنوي.
• مدة القرض أو الإيداع: كلما ازدادت مدة الإيداع أو الإقتراض ازدادت كمية الفوائد التي سيتم تحصيلها بسبب ازدياد عدد الفترات الزمنية التي ستمر على مبلغ رأس المال، وبالتالي ستزداد عدد مرات تراكم الفائدة المركبة.
• عمليات الإيداع والدفع: تؤثر عدد المرات التي ستقوم فيها بالتعديل على مبلغ رأس المال الموجود في الحساب في مبلغ الفائدة الذي سيتم احتسابه، فالزيادة المبلغ أو نقصانه نتيجة عمليات الإيداع أو الدفع أثر مباشر على ذلك.   ³  

أمثلة محلولة

• ما هي القيمة المستقبلية بعد مرور ثلاث سنوات لاستثمار مبلغ رأس المال الأولي الخاص به يبلغ 5000 دولار، والفائدة على الاستثمار مركبة معدلها 10% ويتم حسابها بشكل شهري.
  لحساب القيمة المستقبلية نقوم بتطبيق المعادلة التالية A = P (1 + r / m)^mt. حيث:
  • P هو مبلغ الاستثمار الأولي
  • r معدل الفائدة
  • m عدد مرات حساب الفائدة سنويًا وفي هذه الحالة =1.

بتعويض المعطيات في المعادلة تصبح من الشكل:

A = $ 5,000 (1 + 0.10 / 1)^1*3
A = $ 5,000 (1 + 0.10)^3
A = $ 5,000 (1.10)^3
A = $ 5,000 * 1.331
A = $ 6,655

• ما قيمة الاستثمار المستقبلية بعد مرور خمس سنوات لاستثمار رأس المال الأولي فيه 5000 دولار والفائدة على الاستثمار مركبة، معدلها 3% ويتم تحصيلها بشكل شهري.
  يجب تطبيق معادلة حساب القيمة المستقبلية A = P (1 + r / m)^mt ، حيث:
  • A القيمة المستقبلية للاستثمار
  • m عدد مرات حساب الفائدة وفي هذه الحالة تحسب الفائدة 12 مرة في كل سنة
  • t هو عدد السنوات التي تم حساب القيمة المستقبلية بعدها

بتعويض المعطيات في المعادلة تصبح من الشكل:

A = $ 10,000 (1 + 0.03 / 12)^12*5
A = $ 10,000 (1 + 0.03 / 12)^60
A = $ 10,000 (1.0025)^60
A = $ 10,000 * 1.161616782
A = $ 11,616.17

• قامت شركة Fin International Ltd باستثمار مبلغ 10000 دولار لسنتين، وبمعدل فائدة مركب يبلغ 2% يتم حسابه عند نهاية كل ربع من السنة، والمطلوب حساب القيمة المستقبلية للاستثمار بعد مرور السنتين.
  لحساب القيمة المستقبلية يجب تطبيق المعادلة التالية A = P (1 + r / m) mt حيث:
  • A القيمة المستقبلية للاستثمار بعد مرور سنتين
  • t عدد سنوات الاستثمار أي سنتان
  • m عدد المرات التي تحسب فيها الفائدة المركبة، في هذه الحالة ستحتسب الفائدة أربع موات في كل سنة

بتعويض ما سبق:  ⁴  

A = $ 10,000 (1 + 0.02 / 4)^4*2
A = $ 10,000 (1 + 0.02 / 4)^8
A = $ 10,000 (1.005)^8
A = $ 10,000 * 1.0407
A = $ 10,407.07